แนวคิดของแทคิออนไม่ได้ทำลายคณิตศาสตร์ของทฤษฎีสัมพัทธภาพพิเศษ แต่แสดงถึงโดเมนทางคณิตศาสตร์ที่ยังไม่ถูกสำรวจภายในการแปลง Lorentz เราต้องตรวจสอบสมการที่ควบคุมพลังงาน โมเมนตัม และปริภูมิ-เวลาเมื่อความเร็ว v เกินความเร็วแสง c
1. การกลับด้านของพลังงาน-โมเมนตัม
สมการ Lorentz: E = m₀c² / √(1 - v²/c²) และ p = m₀v / √(1 - v²/c²) สำหรับสสารธรรมดา v < c ดังนั้นนิพจน์ใต้รากที่สองเป็นบวก เมื่อ v เข้าใกล้ c พลังงานเข้าสู่อนันต์
สำหรับแทคิออน v > c ทำให้ (1 - v²/c²) เป็นลบ มวลนิ่งต้องเป็นจำนวนจินตภาพ: m₀ = iμ สมการพลังงานกลายเป็น:
ขีดจำกัดความเร็วจากด้านล่าง
เมื่อความเร็วของแทคิออนลดลงเข้าใกล้ c พลังงานเข้าสู่อนันต์ เมื่อความเร็วเข้าใกล้อนันต์ พลังงานเข้าใกล้ศูนย์ แทคิออนที่มีพลังงานเป็นศูนย์เดินทางด้วยความเร็วอนันต์ มันไม่สามารถชะลอลงถึง c ได้เช่นเดียวกับที่อนุภาคธรรมดาไม่สามารถเร่งขึ้นถึง c ได้
2. สมการมวลอินเวเรียนท์
สมการอินเวเรียนท์เชิงสัมพัทธ์: E² - (pc)² = (m₀c²)² สำหรับแทคิออนที่มีมวลจินตภาพ (m₀)² = -μ² สมการกลายเป็น E² - (pc)² = -μ²c⁴ ซึ่งบ่งชี้ว่าเวกเตอร์สี่โมเมนตัมของแทคิออนเป็นแบบ spacelike
3. หลักการตีความใหม่ของ Feinberg
ปัญหาที่ร้ายแรงที่สุดของแทคิออนคือความเป็นเหตุเป็นผล ผู้สังเกตต่างกันจะไม่เห็นด้วยกับลำดับเวลาของเหตุการณ์ Feinberg แนะนำหลักการตีความใหม่: แทคิออนพลังงานลบที่เดินทางย้อนเวลาไม่สามารถแยกแยะทางกายภาพได้จากแอนติ-แทคิออนพลังงานบวกที่เดินทางไปข้างหน้าในเวลา
สรุป
ฟิสิกส์ของแทคิออนต้องการให้เรากลับด้านสัญชาตญาณเกี่ยวกับพลังงานและความเร็ว แม้จะสวยงามทางคณิตศาสตร์ แต่มันอธิบายจักรวาลที่ความเป็นเหตุเป็นผลขึ้นอยู่กับผู้สังเกต กรอบทางคณิตศาสตร์นี้เป็นพื้นฐานของการเข้าใจความไม่เสถียรของสนามในทฤษฎีสายและกลไก Higgs