Ang konsepto ng tachyon ay hindi likas na sumisira sa matematika ng espesyal na relatibidad. Sa halip, ito ay kumakatawan sa isang hindi pa natutuklas na matematikal na domain sa loob ng Lorentz transformations. Upang maunawaan ang tachyons, kailangan nating maingat na suriin ang mga equation na naggogobyerno sa enerhiya, momentum, at spacetime kapag ang bilis (v) ay mahigpit na lumampas sa bilis ng liwanag (c).
1. Ang Energy-Momentum Inversion
Sa espesyal na relatibidad, ang kabuuang enerhiya (E) at momentum (p) ng isang particle na may rest mass (m₀) at bilis (v) ay ibinibigay ng mga Lorentz equation:
E = m₀c² / √(1 - v²/c²)
p = m₀v / √(1 - v²/c²)
Para sa ordinaryong materya (bradyons), v < c, kaya ang term sa ilalim ng square root (1 - v²/c²) ay positibo. Habang lumalapit ang v sa c, lumalapit sa zero ang denominator, itinutulak ang enerhiya sa infinity. Ito ang dahilan kung bakit hindi maabot ng ordinaryong materya ang bilis ng liwanag.
Para sa isang tachyon, v > c. Ginagawa nitong negatibo ang term (1 - v²/c²). Para manatiling totoo ang enerhiya E at momentum p, ang rest mass m₀ ay kailangang maging imaginary:
Ang Speed Limit Mula sa Ibaba
Kung ang bilis ng tachyon ay bumababa at lumalapit sa c (mula sa itaas), ang enerhiya nito ay napupunta sa infinity. Kung ang v ay napupunta sa infinity, ang enerhiya E ay lumalapit sa zero. Ang tachyon na may zero na enerhiya ay gumagalaw sa walang-hanggang bilis. Hindi ito makakapagbagal sa c tulad ng isang regular na particle na hindi makakapagpabilis sa c.
2. Ang Invariant Mass Equation
Para sa isang tachyon na may haka-hakang masa m₀ = iμ, ang square ng masa (m₀)² = -μ². Ang equation ay nagiging:
Ito ay nagpapahiwatig na para sa isang tachyon, ang squared momentum (pc)² ay palaging mahigpit na mas malaki kaysa sa squared energy E². Sa Minkowski spacetime na may apat na dimensyon, ang four-momentum vector ng tachyon ay spacelike.
3. Ang Reinterpretation Principle ni Feinberg
Ang pinakamabigat na pisikal na komplikasyon ng tachyons ay ang sanhi. Dahil ang four-momentum ng tachyon ay spacelike, iba-ibang mga tagamasid sa iba-ibang inertial reference frames ay magkakasalungat tungkol sa pagkakasunod ng mga pangyayari.
Upang malutas ito, ipinakilala ni Gerald Feinberg ang Reinterpretation Principle. Sinasabi ng prinsipyong ito na ang isang negative-energy tachyon na naglalakbay paatras sa panahon sa isang frame ay pisikal na hindi makilala mula sa isang positive-energy anti-tachyon na naglalakbay pasulong sa panahon sa ibang frame. Ibinabalik nito ang lokal na thermodynamic stability, bagama't hindi nito ganap na nalulutas ang malalaking paradox ng sanhi tulad ng Tachyonic Antitelephone.
Konklusyon
Ang pisika ng tachyons ay nangangailangan na baligtarin natin ang ating karaniwang intuisyon tungkol sa enerhiya at bilis. Bagama't ang pisikal na tachyons ay nananatiling hindi napapatunayan, ang eksaktong matematikal na balangkas na ito - partikular na ang spacelike momentum at haka-hakang masa - ang bumubuo ng pundasyon ng pagkaunawa sa field instabilities (tachyon condensation) sa modernong string theory at Higgs mechanism.