Conceptul de tahion nu incalca in mod inerent matematica relativitatii speciale. Mai degraba, reprezinta un domeniu matematic neexplorat in cadrul transformarilor Lorentz. Pentru a intelege tahionii, trebuie sa examinam atent ecuatiile care guverneaza energia, impulsul si spatiu-timpul cand viteza (v) depaseste strict viteza luminii (c).
1. Inversarea energie-impuls
In relativitatea speciala, energia totala (E) si impulsul (p) al unei particule cu masa de repaus (m₀) si viteza (v) sunt date de ecuatiile Lorentz:
E = m₀c² / √(1 - v²/c²)
p = m₀v / √(1 - v²/c²)
Pentru materia obisnuita (bradioni), v < c, deci termenul de sub radical (1 - v²/c²) este pozitiv. Numitorul este real, masa de repaus este reala, iar energia si impulsul sunt cantitati observabile reale. Pe masura ce v se apropie de c, numitorul se apropie de zero, ducand energia catre infinit.
Pentru un tahion, v > c. Aceasta face termenul (1 - v²/c²) negativ. Radacina patrata a unui numar negativ da un numitor imaginar. Pentru ca energia E si impulsul p sa ramana cantitati reale, observabile, numaratorul trebuie sa fie si el imaginar. Aceasta duce la cerinta ca masa de repaus a tahionului m₀ sa fie imaginara:
Limita de viteza de jos
Daca viteza unui tahion v scade si se apropie de c (de sus), numitorul (v²/c² - 1) se apropie de zero, iar energia tahionului se apropie de infinit. Invers, pe masura ce v se apropie de infinit, numitorul creste infinit, iar energia E se apropie de zero. Un tahion cu energie zero calatoreste cu viteza infinita. Nu se poate incetini la c la fel cum o particula obisnuita nu se poate accelera la c.
2. Ecuatia masei invariante
Relatia dintre energie, impuls si masa de repaus poate fi exprimata si prin ecuatia invarianta relativista:
Pentru un tahion cu masa imaginara, patratul impulsului (pc)² este intotdeauna strict mai mare decat patratul energiei E². In spatiu-timpul Minkowski, vectorul energetic-impuls al unui tahion este de tip spatial (spacelike), in timp ce pentru materia obisnuita este de tip temporal (timelike).
3. Principiul reinterpretarii al lui Feinberg
Complicatia fizica cea mai severa a tahionilor este cauzalitatea. Gerald Feinberg a introdus principiul reinterpretarii: un tahion cu energie negativa care calatoreste inapoi in timp este fizic indistinct de un anti-tahion cu energie pozitiva care calatoreste inainte in timp. Aceasta restaureaza stabilitatea termodinamica localizata, desi nu rezolva complet paradoxurile de cauzalitate macro-scara precum antitelefonul tahionic.
Concluzie
Fizica tahionilor ne cere sa inversam intuitia obisnuita despre energie si viteza. Desi tahionii fizici raman neverificati, acest cadru matematic - in special impulsul de tip spatial si masa imaginara - formeaza baza intelegerii instabilitatilor de camp (condensarea tahionica) in teoria corzilor moderna si mecanismul Higgs.