Koncepcja tachiona nie lamie matematyki szczegolnej teorii wzglednosci. Reprezentuje ona niezbadana domene matematyczna w transformacjach Lorentza. Musimy dokladnie zbadac rownania rzadzace energia, pedem i czasoprzestrzenia, gdy predkosc v scisle przekracza predkosc swiatla c.
1. Inwersja energii i pedu
Rownania Lorentza: E = m₀c² / √(1 - v²/c²) i p = m₀v / √(1 - v²/c²). Dla zwyklej materii v < c, wiec wyrazenie pod pierwiastkiem jest dodatnie. Gdy v zbliha sie do c, energia dahy do nieskonczonosci.
Dla tachiona v > c, co sprawia, ze (1 - v²/c²) jest ujemne. Masa spoczynkowa musi byc urojona: m₀ = iμ. Rownanie energii przyjmuje postac:
Limit predkosci od dolu
Gdy predkosc tachiona maleje i zbliha sie do c, jego energia dahy do nieskonczonosci. Gdy predkosc dahy do nieskonczonosci, energia zbliha sie do zera. Tachion o zerowej energii podrozuje z nieskonczona predkoscia. Nie moze zwolnic do c, tak jak zwykla czastka nie moze przyspieszyc do c.
2. Rownanie masy niezmienniczej
Relatywistyczne rownanie niezmiennicze: E² - (pc)² = (m₀c²)². Dla tachiona o urojonej masie (m₀)² = -μ², rownanie staje sie E² - (pc)² = -μ²c⁴. Wskazuje to, ze czteropeed tachiona jest typu przestrzennego (spacelike).
3. Zasada reinterpretacji Feinberga
Najpowazhniejsza komplikacja tachionow dotyczy przyczynowosci. Rozni obserwatorzy moga nie zgadzac sie co do kolejnosci zdarzen w czasie. Feinberg wprowadzil zasade reinterpretacji: tachion o ujemnej energii poruszajacy sie wstecz w czasie jest fizycznie nieodrozhialny od antytachiona o dodatniej energii poruszajacego sie do przodu w czasie.
Podsumowanie
Fizyka tachionow wymaga odwrocenia naszej intuicji dotyczacej energii i predkosci. Choc matematycznie elegancka, opisuje wszechswiat, w ktorym przyczynowosci zalezhy od obserwatora. Te ramy matematyczne stanowia podstawe rozumienia niestabilnosci pola w teorii strun i mechanizmie Higgsa.