A tachion fogalma nem serti a specialis relativitas matematikat. Inkabb a Lorentz-transzformaciok felderitheten matematikai tartomanyat kepviseli. A tachionok megertesehez gondosan meg kell vizsgalnunk az energiat, az impulzust es a terido egyenleteit, amikor a sebesseg (v) szigoruan meghaladja a fenysebesseg (c).
1. Az energia-impulzus inverzio
A specialis relativitasban az m₀ nyugalmi tomegu es v sebessu reszecske teljes energiajat (E) es impulzusat (p) a Lorentz-egyenletek adjak:
E = m₀c² / √(1 - v²/c²)
p = m₀v / √(1 - v²/c²)
A hagyomanyos anyag (bradionok) eseten v < c, tehat a gyok alatti kifejezes (1 - v²/c²) pozitiv. A nevezo valos, a nyugalmi tomeg valos, es az energia es impulzus valos megfigyelheto mennyisegek. Ahogy v kozeliti c-t, a nevezo kozeliti a nullat, ami az energiat a vegtelenbe hajtja.
Tachion eseten v > c. Ez a kifejezest (1 - v²/c²) negativva teszi. Ahhoz, hogy E es p valos legyen, a szamlalonak is imaginiusnak kell lennie. Ez az imaginarius nyugalmi tomeget kovetelio:
A sebesseghatar alulrol
Ha egy tachion sebessege csokken es kozeliti c-t (felulrol), a nevezo (v²/c² - 1) kozeliti a nullat, es a tachion energiaja a vegtelenhez kozelit. Forditva, ahogy v kozeliti a vegtelent, az energia E kozeliti a nullat. Egy nulla energiaju tachion vegtelen sebessegel halad. Nem tud c-re lassulni, ahogy egy rendes reszecske sem tud c-re gyorsulni.
2. Az invarians tomeg egyenlete
Imaginarius tomegu tachion eseten az impulzus negyzete (pc)² mindig szigoruan nagyobb az energia negyzetnel E². A negydimenziou Minkowski-terben a tachion energia-impulzus negyzektoroja terbeli jelleggu (spacelike), szemben a hagyomanyos anyag idoszeru jellegevel (timelike).
3. Feinberg ujraertelmezesi elve
A tachionok legsulysabb fizikai problemaja az oksag. Gerald Feinberg bevezette az ujraertelmezesi elvet: egy negativ energiaju, az idoben hatra halado tachion fizikailag megkulonbozhetetlen egy pozitiv energiaju, az idoben elore halado anti-tachiontol. Ez helyreallitja a lokalizalt termodinamikai stabilitast, bar nem oldja meg teljesen a makroszintu oksagi paradoxonokat.
Kovetkezetes
A tachionok fizikaja megkoveteli, hogy megforditsuk szokasos intuiciounk az energiarol es a sebessegrol. Bar a fizikai tachionok igazolatlanok maradnak, ez a matematikai keretrendszer - kulonosen a terbeli impulzus es az imaginarius tomeg - kepezi a mezinstabilitasok megertesenek alapjat a modern hurelmeletben es a Higgs-mechanizmusban.