Koncept tachyonu nenarusi matematiku specialni relativity. Reprezentuje neprozkoumane matematicke uzemi v Lorentzovych transformacich. Musime pechlive prozkoumat rovnice ovladajici energii, hybnost a casoprostor, kdyz rychlost v striktne prevysuje rychlost svetla c.
1. Inverze energie a hybnosti
Lorentzovy rovnice: E = m₀c² / √(1 - v²/c²) a p = m₀v / √(1 - v²/c²). Pro beznou hmotu v < c, takze vyraz pod odmocninou je kladny. Kdyz se v blizi c, energie smeri k nekonecnu.
Pro tachyon v > c, coz dela (1 - v²/c²) zapornym. Klidova hmotnost musi byt imaginarni: m₀ = iμ. Rovnice energie se meni na:
Rychlostni limit zespoda
Kdyz se rychlost tachyonu snizuje a blizi c, jeho energie smeri k nekonecnu. Kdyz rychlost smeri k nekonecnu, energie se blizi nule. Tachyon s nulovou energii cestuje nekonecnou rychlosti. Nemuze zpomalit na c, stejne jako bezna castice nemuze zrychlit na c.
2. Rovnice invariantni hmotnosti
Relativisticka invariantni rovnice: E² - (pc)² = (m₀c²)². Pro tachyon s imaginarni hmotnosti (m₀)² = -μ² se rovnice meni na E² - (pc)² = -μ²c⁴. To ukazuje, ze ctyrvektor energie-hybnosti tachyonu je prostoroveho typu (spacelike).
3. Feinberguv princip reinterpretace
Nejzavaznejsi komplikaci tachyonu je kauzalita. Ruzni pozorovatele se mohou neshodnout na casovem poradi udalosti. Feinberg zavedl princip reinterpretace: tachyon se zapornou energii cestujici zpet v case je fyzikalne nerozlisitelny od antitachyonu s kladnou energii cestujiciho vpred v case.
Zaver
Fyzika tachyonu vyzaduje obraceni nasi bezne intuice o energii a rychlosti. Prestoze matematicky elegantni, popisuje vesmir, kde kauzalita hluboce zavisi na pozorovateli. Tento matematicky ramec tvori zaklad pro pochopeni nestabilit poli v teorii strun a Higgsove mechanismu.