مفهوم التاكيون لا يكسر بطبيعته رياضيات النسبية الخاصة. بل يمثل مجالاً رياضياً غير مستكشف ضمن تحويلات لورنتز. لفهم التاكيونات، يجب أن ننظر عن كثب في المعادلات التي تحكم الطاقة والزخم والزمكان عندما تتجاوز السرعة ($v$) سرعة الضوء ($c$) بشكل صارم.
1. انعكاس الطاقة-الزخم
في النسبية الخاصة، الطاقة الكلية ($E$) والزخم ($p$) لجسيم ذي كتلة سكون ($m₀$) وسرعة ($v$) تُعطى بمعادلات لورنتز:
E = m₀c² / √(1 - v²/c²)
p = m₀v / √(1 - v²/c²)
بالنسبة للمادة العادية (البراديونات)، $v < c$، لذا الحد تحت الجذر التربيعي، $(1 - v²/c²)$، موجب. المقام حقيقي، كتلة السكون حقيقية، وبالتالي الطاقة والزخم كميات حقيقية قابلة للرصد. مع اقتراب $v$ من $c$، يقترب المقام من الصفر، مما يدفع الطاقة نحو اللانهاية. هذا هو سبب عدم قدرة المادة العادية على بلوغ سرعة الضوء - سيتطلب ذلك طاقة لانهائية.
بالنسبة للتاكيون، $v > c$. هذا يجعل الحد $(1 - v²/c²)$ سالباً. أخذ الجذر التربيعي لعدد سالب ينتج مقاماً تخيلياً. لكي تبقى الطاقة $E$ والزخم $p$ كميات حقيقية قابلة للرصد، يجب أن يكون البسط أيضاً تخيلياً. هذا يقود إلى متطلب أن كتلة سكون التاكيون $m₀$ يجب أن تكون تخيلية:
حيث $i = √(-1)$ و $μ$ عدد حقيقي يمثل مقدار كتلة التاكيون. تصبح معادلة الطاقة عندئذ:
حد السرعة من الأسفل
انظر بعناية إلى معادلة الطاقة المعدلة أعلاه. إذا تناقصت سرعة التاكيون $v$ واقتربت من $c$ (من أعلى)، يقترب المقام $(v²/c² - 1)$ من الصفر، وتقترب طاقة التاكيون من اللانهاية. بالعكس، مع اقتراب $v$ من اللانهاية، ينمو المقام بشكل لانهائي، وتقترب الطاقة $E$ من الصفر. تاكيون ذو طاقة صفرية يسافر بسرعة لانهائية. لا يمكنه التباطؤ إلى $c$ كما لا يمكن لجسيم عادي التسارع إلى $c$.
2. معادلة الكتلة الثابتة
يمكن التعبير عن العلاقة بين الطاقة والزخم وكتلة السكون أيضاً من خلال المعادلة النسبية الثابتة:
بالنسبة لتاكيون ذي كتلة تخيلية $m₀ = iμ$، مربع الكتلة $(m₀)² = (iμ)² = -μ²$. تصبح المعادلة:
هذا يشير إلى أنه بالنسبة للتاكيون، الزخم المربع $(pc)²$ دائماً أكبر بشكل صارم من طاقته المربعة $E²$. في زمكان مينكوفسكي رباعي الأبعاد، متجه الطاقة-الزخم الرباعي للتاكيون فضائي، بينما للمادة العادية يكون زمنياً، وللضوء يكون ضوئياً (أو فارغاً).
3. مبدأ إعادة التفسير لـ Feinberg
أشد تعقيد فيزيائي للتاكيونات هو السببية. لأن الزخم الرباعي للتاكيون فضائي، سيختلف مراقبون مختلفون في أطر مرجعية قصورية مختلفة حول الترتيب الزمني للأحداث.
إذا رأى المراقب A تاكيوناً مُنبعثاً عند الحدث $E_1$ بطاقة موجبة وممتصاً عند الحدث $E_2$ لاحقاً في الزمن ($t_2 > t_1$)، يوجد إطار مرجعي صالح آخر، المراقب B، يسافر بسرعة نسبية $v < c$، سيرى الأحداث بترتيب معكوس ($t_1' > t_2'$). علاوة على ذلك، في إطار المراقب B، ستظهر طاقة التاكيون رياضياً سالبة.
لحل هذا، قدم Gerald Feinberg مبدأ إعادة التفسير (صاغه Sudarshan أيضاً بشكل مستقل). ينص المبدأ على أن تاكيون سالب الطاقة يسافر عكس الزمن لا يمكن تمييزه فيزيائياً عن مضاد تاكيون موجب الطاقة يسافر مع الزمن.
إذا رأى المراقب B جسيماً يتحرك من $E_2$ إلى $E_1$ عكس الزمن بطاقة سالبة، يجب عليه إعادة تفسيره كجسيم مضاد يتحرك من $E_1$ إلى $E_2$ مع الزمن بطاقة موجبة. يتبادل فعلا "الانبعاث" و"الامتصاص" ببساطة اعتماداً على إطار المراقب المرجعي. هذا يستعيد الاستقرار الديناميكي الحراري الموضعي، لكنه لا يحل بالكامل مفارقات السببية على المستوى الكلي مثل الهاتف التاكيوني العكسي.
4. اللف المغزلي الكمومي والحلزونية
إذا كانت التاكيونات موجودة كجسيمات كمومية، يجب أن تمتلك أعداداً كمومية مثل اللف المغزلي. ومع ذلك، يُظهر تصنيف Wigner لتمثيلات مجموعة بوانكاريه أن الحالات التاكيونية شاذة للغاية. بالنسبة لمتجه زخم فضائي، "المجموعة الصغيرة" (المجموعة الفرعية لتحويلات لورنتز التي تترك متجه الزخم بدون تغيير) هي $SO(2,1)$، وهي غير متراصة.
هذا يعني أن تاكيوناً كمومياً سيكون له عدد لانهائي من حالات الاستقطاب (لف مغزلي مستمر)، ما لم تُقيّد الحالة بحلزونية صفرية (تاكيون عددي). لأننا لا نرصد جسيمات أولية ذات حالات لف مغزلي مستمر لانهائي، يُنمذج الفيزيائيون النظريون التاكيونات عموماً كحقول عددية ذات لف مغزلي صفر (spin-0).
الخلاصة
تتطلب فيزياء التاكيونات منا عكس حدسنا المعتاد حول الطاقة والسرعة. بقدر ما تكون الكتلة التخيلية ومبدأ إعادة التفسير أنيقين رياضياً، فهما يصفان كوناً تكون فيه السببية معتمدة بعمق على المراقب. على الرغم من أن التاكيونات الفيزيائية تبقى غير مؤكدة، فإن هذا الإطار الرياضي بالذات - خاصة الزخم الفضائي والكتلة التخيلية - يشكل أساس فهم عدم استقرار الحقول (تكاثف التاكيون) في نظرية الأوتار الحديثة وآلية هيغز.